Równania Maxwella w rezonatorze wnękowym

Rezonans Schumanna to własne drganie elektromagnetyczne kulistej wnęki między powierzchnią Ziemi a dolną jonosferą. Pola wyprowadza się z równań Maxwella zapisanych na sferycznej powłoce o promieniu wewnętrznym a (powierzchnia Ziemi) i przewodzącej górnej granicy (jonosfera) Sentman 1995Nickolaenko Hayakawa 2002.

We wnęce dominują mody TM (transverse magnetic): mają pionowe (radialne) pole elektryczne E_r i poziome pole magnetyczne; składowa E w kierunku propagacji jest obecna, podczas gdy H jest czysto poprzeczne. Odpowiada to fizyce źródła ELF — piorunów jako pionowych kanałów prądowych — oraz geometrii cienkiej wnęki, której grubość (kilkadziesiąt km) jest znacznie mniejsza niż długość fali (tysiące km) i obwód Ziemi.

Z bezźródłowych równań Maxwella dla zależności harmonicznej e^{-i\omega t} otrzymuje się równanie falowe (Helmholtza) \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0 z k = \omega/c. Dzięki symetrii kulistej rozwiązanie separuje się na część radialną i kątową; część kątowa prowadzi do harmonik sferycznych Y_n^m(\theta,\varphi), względnie funkcji Legendre'a P_n(\cos\theta). Wskaźniki n numerują mody własne wnęki.